1. Zadatak

Neka je $a$ pravac $BC$, $b$ pravac $AC$, a $t_a$ pravac $AP$ na kojemu leži težišnica iz vrha $A$. Tada je $a\cap b=\{C\}$, a $b\cap t_a=\{A\}$.

Dakle, koordinate vrha $C$ dobit ćemo kao rješenje sustava

$$\begin{cases} 2x+y+10=0,\\ 2x-y-2=0. \end{cases}$$

Zbrojimo li jednadžbe dobivamo $x=-2$, a zatim iz jedne od jednadžbi $y=-6$. Dakle, vrh $C$ jest $C(-2,-6)$.

Koordinate vrha $A$ dobit ćemo kao rješenje sustava

$$\begin{cases} 2x-7y+10=0,\\ 2x-y-2=0. \end{cases}$$

Oduzmemo li jednadžbe sustava dobivamo $y=2$, a zatim iz jedne od jednadžbi $x=2$. Dakle, vrh $A$ jest $A(2,2)$.

Polovište stranice $\overline{BC}$ je točka $P(x_P,y_P)$ i za njezine koordinate vrijedi

$$x_P=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{x_B-2}{2},$$ $$y_P=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{y_B-6}{2}.$$

Budući da se točka $P$ nalazi na težišnici, odnosno pravcu $t_a$, a točka $B$ na pravcu $a$, njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbe tih pravaca. Dakle, vrijedi:

$$2\cdot\frac{x_B-2}{2}-7\cdot\frac{y_B-6}{2}+10=0,$$ $$2x_B+y_B+10=0.$$

Nakon sređivanja dobivamo sustav jednadžbi

$$\begin{cases} 2x_B-7y_B+58=0,\\ 2x_B+y_B+10=0. \end{cases}$$

Oduzmemo li jednadžbe toga sustava dobivamo $y_B=6$, a zatim iz jedne od jednadžbi $x_B=-8$. Dakle, vrh $B$ jest $B(-8,6)$.