5. Zadatak

Uvedimo supstituciju $a^x=y$. Tada je $f(y^2+2y-7)<f(y-5)$.

Da bi ova nejednadžba imala smisla vrijednosti izraza u zagradama trebaju biti u domeni funkcije $f$. Dakle, mora vrijediti

$$y^2+2y-7\geq-4\qquad\text{i}\qquad y-5\geq-4$$

ili nakon sređivanja

$$y^2+2y-3\geq0\qquad\text{i}\qquad y\geq1.$$

Tada je

$$y\in(\langle-\infty,-3]\cup[1,\infty\rangle)\cap[1,\infty\rangle.$$

Prema tome, dana nejednadžba ima smisla ako je

$$y\in[1,\infty\rangle.\tag{*}$$

Kako je funkcija $f$ strogo padajuća, polazna nejednadžba ekvivalentna je nejednadžbi

$$y^2+2y-7>y-5,$$

odnosno

$$y^2+y-2>0.$$

Njezinim rješavanjem dobivamo $y\in\langle-\infty,-2\rangle\cup\langle1,\infty\rangle$, a zbog uvjeta $(*)$ je $y\in\langle1,\infty\rangle$.

Prema tome, polazna je nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi $a^x>1$.

Iz uvjeta $f(0)\cdot f(1)<0$ slijedi da je nultočka funkcije $f$ iz intervala $\langle0,1\rangle$.

Budući da je $a$ nultočka funkcije $f$, funkcija $x\mapsto a^x$ je padajuća te iz $a^x>1=a^0$ slijedi $x<0$.

Konačno rješenje dane nejednadžbe jest $x\in\langle-\infty,0\rangle$.