4. Zadatak

Volumen posude izračunat ćemo tako da zbrojimo volumene dva stošca ($V_1$ je volumen stošca promjera baze $\overline{ED}$ i visine $h=4$ dm, $V_2$ je volumen stošca promjera baze $\overline{AB}$ i iste visine) te oduzmemo zajednički dio ($V_3$ i $V_4$ su volumeni stožaca promjera baze $\overline{FC}$, a zbroj njihovih visina je $h=4$ dm).

$$V=V_1+V_2-V_3-V_4=\frac{r_1^2\pi h}{3}+\frac{r_2^2\pi h}{3}-\frac{r_3^2\pi h}{3}=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_2^2-r_3^2).$$

Primjenom trigonometrijskih omjera na trokute $GHE$ i $AGH$ odredit ćemo polumjere $r_1$ i $r_2$.

Kako je

$$\operatorname{tg}60^\circ=\sqrt3=\frac{h}{r_1},$$

dobivamo

$$r_1=\frac4{\sqrt3}.$$

Nadalje je

$$\operatorname{tg}75^\circ=\operatorname{tg}(45^\circ+30^\circ)=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=2+\sqrt3=\frac{h}{r_2},$$

pa je

$$r_2=\frac4{2+\sqrt3}.$$

Primjenom poučka o sinusu na trokut $AGF$ odredit ćemo polumjer $r_3$. Dobivamo

$$\frac{x}{\sin75^\circ}=\frac{r_2}{\sin45^\circ}.$$

Nadalje je

$$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Sada je

$$\frac{x}{\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}}=\frac{\frac4{2+\sqrt3}}{\frac{\sqrt2}{2}},$$

pa je $x=2(\sqrt3-1)$, odnosno $r_3=\frac{x}{2}=\sqrt3-1$.

Uvrštavanjem u početnu formulu računamo volumen

$$V=\frac{4\pi}{3}\left[\left(\frac4{\sqrt3}\right)^2+\left(\frac4{2+\sqrt3}\right)^2-(\sqrt3-1)^2\right]=\left(\frac{1360}{9}-\frac{248}{3}\sqrt3\right)\pi\ \mathrm{dm}^3.$$