5. Zadatak

Vrhove polaznog trokuta označimo s $A,B,C$, vrhove rotiranog trokuta s $A_1,B_1,C_1$, težište s $O$, a točke presjeka stranica dvaju trokuta s $D,E,F,G,H,I$. Lik dobiven presjekom trokuta je šesterokut $DEFGHI$.

Zbog rotacije vrijedi $\angle AOA_1=30^\circ$, a

$$\angle OAA_1=\angle OA_1A=\frac12(180^\circ-30^\circ)=75^\circ.$$

$OA$ je simetrala kuta $\angle CAB$, $OA_1$ je simetrala kuta $\angle C_1A_1B_1$. Vrijedi $\angle DAA_1=\angle DA_1A=45^\circ$. Slijedi $|AD|=|A_1D|$, a $\angle ADI=\angle ADA_1=90^\circ$.

Točka $D$ nalazi se na simetrali stranice $AA_1$, odnosno kuta $\angle AOA_1$, jer je trokut $AOA_1$ jednakokračan. Analogno se pokaže i da su točke $F$ i $H$ na simetrali kuta $\angle BOB_1$, odnosno $\angle COC_1$ te da su kutovi u $F$ i $H$ pravi kutovi.

Prema KSK poučku slijedi

$$\triangle OAD\cong\triangle OA_1D\cong\triangle OBF\cong\triangle OB_1F\cong\triangle OCH\cong\triangle OC_1H.$$

(Kutovi pri vrhu $O$ su $15^\circ$, pri vrhovima $A,B,C,A_1,B_1,C_1$ su $30^\circ$, a stranice $|OA|$, $|OA_1|$, $|OB|$, $|OB_1|$, $|OC|$ i $|OC_1|$ su sve jednake polumjeru opisane kružnice.)

Zaključujemo da je

$$|AD|=|A_1D|=|BF|=|B_1F|=|CH|=|C_1H|.$$

Iz toga prema poučku KSK slijedi da su i trokuti $\triangle ADI$, $\triangle A_1DE$, $\triangle BFE$, $\triangle B_1FG$, $\triangle CHG$, $\triangle C_1HI$ sukladni (kutovi su im $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$).

Slijedi

$$|DE|=|EF|=|FG|=|GH|=|HI|=|ID|.$$

Prema tome, šesterokut $DEFGHI$ je jednakostraničan i sastoji se od 6 trokuta s istom visinom $r$ (polumjer trokutu upisane kružnice) i istom osnovicom (stranicom šesterokuta). Promotrimo jedan takav trokut, $\triangle DEO$. Površina šesterokuta je

$$P_6=6\cdot P_{\triangle DEO}=6\cdot\frac{|DE|r}{2}=3|DE|r.$$

Neka je stranica početnog trokuta $a$. Tada je

$$|AD|+|DE|+|EB|=|AB|=a,$$ $$|DE|=|DI|=|AD|\sqrt3,\qquad |EB|=2|BF|=2|AD|.$$

Stoga

$$|AD|+|AD|\sqrt3+2|AD|=a\quad\Longrightarrow\quad |AD|=\frac{a}{3+\sqrt3}.$$

Slijedi

$$|DE|=\frac{a}{3+\sqrt3}\sqrt3=\frac{a(\sqrt3-1)}2,\qquad r=\frac{a\sqrt3}{6}.$$

Konačno,

$$P_6=3\cdot\frac{a(\sqrt3-1)}2\cdot\frac{a\sqrt3}{6} =\frac{a^2}{4}(\sqrt3-1)=P(\sqrt3-1).$$