1. Zadatak

Vrijedi

$$a_2=\sqrt{1-2+3}+1=\sqrt2+1,$$ $$a_3=\sqrt{(\sqrt2+1)^2-2(\sqrt2+1)+3}+1 =\sqrt{2+2\sqrt2+1-2\sqrt2-2+3}+1=\sqrt4+1=3,$$ $$a_4=\sqrt6+1,$$ $$a_5=\sqrt{(\sqrt6+1)^2-2(\sqrt6+1)+3}+1 =\sqrt{6+2\sqrt6+1-2\sqrt6-2+3}+1=\sqrt8+1,$$

…

Pokažimo da je

$$a_n=\sqrt{2(n-1)}+1,\qquad\text{za sve }n\in\mathbb{N}.$$

Dokaz provodimo matematičkom indukcijom.

Za $n=1$ tvrdnja vrijedi jer je $a_1=\sqrt{2(1-1)}+1=0+1=1$.

Pretpostavimo da za neki prirodni broj $n$ vrijedi $a_n=\sqrt{2(n-1)}+1$. Dokažimo da je tada

$$a_{n+1}=\sqrt{2(n+1-1)}+1=\sqrt{2n}+1.$$

Iz početne rekurzije kojom je niz zadan, slijedi

$$a_{n+1}=\sqrt{a_n^2-2a_n+3}+1 \quad\text{(prema pretpostavci indukcije)}$$ $$=\sqrt{(\sqrt{2(n-1)}+1)^2-2(\sqrt{2(n-1)}+1)+3}+1$$ $$=\sqrt{2(n-1)+2\sqrt{2(n-1)}+1-2\sqrt{2(n-1)}-2+3}+1 =\sqrt{2n}+1.$$

Kako iz pretpostavke da tvrdnja vrijedi za neki $n$, slijedi da ona vrijedi i za sljedeći prirodan broj $n+1$, zaključujemo da je

$$a_n=\sqrt{2(n-1)}+1,\qquad\forall n\in\mathbb{N}.$$

Tada je

$$a_{801}=\sqrt{2(801-1)}+1=41.$$