3. Zadatak

Kako je $CS$ simetrala kuta, $\angle ECS=\angle DCS$, $\angle CES=\angle CDS=90^\circ$ i $CS$ je zajednička stranica pa su trokuti $CES$ i $CDS$ sukladni prema poučku KSK. Tada je $|CE|=|CD|=y$.

Analogno zaključujemo i $|AF|=|AE|=3$, $|BF|=|BD|=x$.

Neka je $r=|ES|$ polumjer upisane kružnice. Kako je $AS$ simetrala kuta $\angle EAF$, vrijedi $\angle EAS=30^\circ$. Iz trokuta $AES$, koji je pola jednakostraničnog trokuta, slijedi

$$r=3\operatorname{tg}30^\circ=\sqrt3\ \text{cm}.$$

Iz pravokutnog trokuta $CES$ primjenom Pitagorinog poučka dobivamo

$$y^2=(2\sqrt7)^2-(\sqrt3)^2,$$

odnosno $y=5\ \text{cm}$, $|AC|=8\ \text{cm}$.

Poluopseg trokuta $ABC$ je

$$s=\frac{8+5+x+3+x}{2}=8+x.$$

Duljinu $x$ računamo koristeći formule za površinu $P=r\cdot s$ i $P=\frac12ab\sin\alpha$:

$$rs=\frac12|AB|\cdot|AC|\sin60^\circ,$$ $$\sqrt3(8+x)=\frac12\cdot8\cdot(3+x)\cdot\frac{\sqrt3}{2},$$

odakle je

$$8+x=6+2x,$$

pa je $x=2\ \text{cm}$.

Stranice trokuta su 8 cm, 7 cm i 5 cm, a površina je

$$P=rs=\sqrt3(8+2)=10\sqrt3\ \text{cm}^2.$$