4. Zadatak

Neka je $x$ broj u donjem desnom kutu kvadrata dimenzija $6\times6$.

Budući da svaki redak kvadrata sadrži $6$ brojeva, broj u donjem lijevom kutu je $x-5$.

U tablici se brojevi u istom stupcu povećavaju za $18$ pri prijelazu u sljedeći redak. Kako je broj u donjem desnom kutu pet redaka ispod gornjeg desnog kuta, slijedi da je broj u gornjem desnom kutu jednak

$$x-5\cdot18=x-90.$$

Broj u gornjem lijevom kutu je za $5$ manji od broja u gornjem desnom kutu, pa je broj u gornjem lijevom kutu jednak

$$(x-90)-5=x-95.$$

Dakle, četiri kutna broja su $x$, $x-5$, $x-90$ i $x-95$.

Zbroj tri od četiriju kutna broja iznosi $616$ pa razlikujemo četiri slučaja.

U prvom slučaju je

$$(x-5)+(x-90)+(x-95)=616,$$

iz čega dobivamo $x=\frac{806}{3}$, što nije prirodan broj. Slučaj nije moguć.

U drugom slučaju je

$$x+(x-5)+(x-95)=616,$$

iz čega dobivamo $x=\frac{716}{3}$, što nije prirodan broj. Slučaj nije moguć.

U trećem slučaju je

$$x+(x-5)+(x-90)=616,$$

iz čega dobivamo $x=237$. U tom slučaju broj u četvrtom kutnom polju jednak je $x-95=142$.

Broj $237$ nalazi se u $14.$ retku i $3.$ stupcu tablice. Kvadrat širine $6$ s donjim desnim kutom u $3.$ stupcu protezao bi se ulijevo izvan granica tablice $18\times18$, pa taj položaj nije moguć.

U četvrtom slučaju je

$$x+(x-90)+(x-95)=616,$$

iz čega dobivamo $x=267$. U tom slučaju broj u četvrtom kutnom polju jednak je $x-5=262$.

Broj $267$ nalazi se u $15.$ retku i $15.$ stupcu tablice $18\times18$. Kvadrat širine $6$ s donjim desnim kutom u $15.$ stupcu proteže se ulijevo do $10.$ stupca, pa cijeli donji rub kvadrata ostaje unutar istoga retka. Broj u gornjem lijevom kutu kvadrata nalazi u $10.$ retku, pa je cijeli kvadrat dimenzija $6\times6$ smješten unutar tablice $18\times18$.

Dakle, jedino rješenje je $262$.