3. Zadatak

Nakon množenja početne jednadžbe s $abc(a+b+c)$ dobivamo:

$$\begin{aligned} bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)&=abc,\\ abc+b^2c+bc^2+a^2c+abc+ac^2+a^2b+ab^2+abc&=abc. \end{aligned}$$

Nakon pogodnog grupiranja i izlučivanja slijedi:

$$c(a^2+2ab+b^2)+c^2(a+b)+ab(a+b)=0.$$

Izlučivanjem zajedničkog faktora $(a+b)$ dobivamo:

$$(a+b)(c(a+b)+c^2+ab)=0.$$

Primijetimo da vrijedi

$$\begin{aligned} c(a+b)+c^2+ab &=ac+bc+c^2+ab\\ &=a(b+c)+c(b+c)\\ &=(b+c)(a+c). \end{aligned}$$

Dakle, gornja jednakost se može zapisati kao

$$(a+b)(b+c)(a+c)=0.$$

Umnožak tri broja je jednak nuli ako je barem jedan od njih jednak nuli, što daje:

$$a+b=0\quad\text{ili}\quad b+c=0\quad\text{ili}\quad a+c=0.$$

i time je tvrdnja dokazana.