5. Zadatak

Prvo rješenje

Neka je $|AB|=6$ i $|AC|=9$ te neka su sjecišta visina iz vrhova $A$, $B$, $C$ na stranice $BC$, $AC$, $AB$ redom točke $D$, $E$, $F$. Sjecište visina je ortocentar. Neka je to točka $O$.

Budući da je trokut $ABC$ jednakokračan, točka $F$ je polovište dužine $\overline{AB}$. Stoga vrijedi $|AF|=|BF|=3$.

Prema Pitagorinom poučku za trokut $AFC$ dobivamo

$$|CF|=\sqrt{|AC|^2-|AF|^2}=\sqrt{81-9}=6\sqrt2.$$

Površina trokuta $ABC$ iznosi

$$P_{ABC}=\frac{|AB|\cdot|CF|}{2}=18\sqrt2.$$

S druge strane, vrijedi

$$P_{ABC}=\frac{|BC|\cdot|AD|}{2}.$$

Iz jednakosti površina slijedi

$$\begin{aligned} \frac{9\cdot|AD|}{2}&=18\sqrt2,\\ |AD|&=4\sqrt2. \end{aligned}$$

Prema Pitagorinom poučku za trokut $ABD$ dobivamo

$$|BD|=\sqrt{|AB|^2-|AD|^2}=\sqrt{36-32}=2.$$

Budući da je $|\angle ADB|=|\angle OFA|=90^\circ$ i $\angle BAD=\angle FAO$ (zajednički kut), prema K–K poučku o sličnosti trokuta slijedi da je $\triangle ABD\sim\triangle AFO$.

Stoga vrijedi

$$\begin{aligned} \frac{|BD|}{|OF|}&=\frac{|AD|}{|AF|},\\ \frac2{|OF|}&=\frac{4\sqrt2}{3},\\ |OF|&=\frac{3\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

Kako je $|OC|=|CF|-|OF|$ slijedi da je

$$|OC|=6\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{21\sqrt2}{4}.$$

Prema Pitagorinom poučku za trokut $AFO$ dobivamo

$$|OA|=\sqrt{|AF|^2+|OF|^2}=\frac{9\sqrt2}{4}.$$

Budući da je trokut $ABO$ jednakokračan, vrijedi da je

$$|AO|=|BO|=\frac{9\sqrt2}{4}.$$

Konačno, zbroj udaljenosti ortocentra od vrhova trokuta jednak je

$$|OA|+|OB|+|OC| =\frac{9\sqrt2}{4}+\frac{9\sqrt2}{4}+\frac{21\sqrt2}{4} =\frac{39\sqrt2}{4}.$$

Drugo rješenje

Kao u prvom rješenju uvodimo oznake i pokazujemo da vrijedi

$$|CF|=\sqrt{|AC|^2-|AF|^2}=\sqrt{81-9}=6\sqrt2.$$

U trokutu $AFO$ kut $\angle FAO$ je komplementaran kutu $\angle CBA$, pa vrijedi

$$|\angle FAO|=90^\circ-|\angle CBA|.$$

Stoga vrijedi

$$\cos|\angle FAO| =\cos(90^\circ-|\angle CBA|) =\frac{|AF|}{|AO|},$$

iz čega slijedi da je

$$|AO|=\frac{|AF|}{\cos(90^\circ-|\angle CBA|)}.$$

Iz trokuta $FBC$ zaključujemo da vrijedi

$$\sin|\angle CBA| =\frac{|CF|}{|BC|} =\frac{6\sqrt2}{9} =\frac{2\sqrt2}{3}.$$

Budući da je $\cos(90^\circ-|\angle CBA|)=\sin|\angle CBA|$, dobivamo da je

$$|AO| =\frac{|AF|}{\sin|\angle CBA|} =\frac3{\frac{2\sqrt2}{3}} =\frac9{2\sqrt2} =\frac{9\sqrt2}{4}.$$

Budući da je trokut $ABO$ jednakokračan, vrijedi

$$|OA|=|OB|=\frac{9\sqrt2}{4}.$$

Također vrijedi

$$\begin{aligned} \operatorname{tg}|\angle FAO| &=\operatorname{tg}(90^\circ-|\angle CBA|)\\ &=\operatorname{ctg}|\angle CBA|\\ &=\frac{\cos|\angle CBA|}{\sin|\angle CBA|}\\ &=\frac{\frac39}{\frac{2\sqrt2}{3}}\\ &=\frac{\sqrt2}{4}. \end{aligned}$$

Sada iz

$$\operatorname{tg}(90^\circ-|\angle CBA|)=\frac{|FO|}{|AF|}$$

dobivamo

$$|FO|=|AF|\cdot\operatorname{tg}(90^\circ-|\angle CBA|) =\frac{3\sqrt2}{4}.$$

Budući da je $|CO|=|CF|-|FO|$, slijedi

$$|CO|=6\sqrt2-\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{21\sqrt2}{4}.$$

Konačno, zbroj udaljenosti ortocentra od vrhova trokuta jednak je

$$|AO|+|BO|+|CO| =\frac{9\sqrt2}{4}+\frac{9\sqrt2}{4}+\frac{21\sqrt2}{4} =\frac{39\sqrt2}{4}.$$