2. Zadatak

Za parni $n$ eksponenti $\cos(k\pi)$ alterniraju. Pojednostavimo zadani izraz:

$$\begin{aligned} &\log_{0.5}\left( 20^{\cos\pi}\cdot30^{\cos2\pi}\cdot42^{\cos3\pi}\cdots \left(n^2+7n+12\right)^{\cos n\pi}\right)\\ &=\log_{0.5}\left( (4\cdot5)^{-1}\cdot(5\cdot6)\cdot(6\cdot7)^{-1}\cdots \left((n+3)(n+4)\right)^1\right)\\ &=\log_{0.5}\left(\frac14\cdot(n+4)\right). \end{aligned}$$

Jednadžba je zato

$$\left|\log_{0.5}\left(\frac{n+4}{4}\right)\right|=1,$$

odakle

$$\log_{0.5}\left(\frac{n+4}{4}\right)=\pm1.$$

Iz $\frac{n+4}{4}=\frac12$ slijedi $n=-2$, što nije prirodan broj. Iz $\frac{n+4}{4}=2$ dobivamo $n=4$. Dakle,

$$\boxed{n=4}.$$