7. Zadatak

Rotacijom nastaje tijelo koje se sastoji od stošca $S_1$ i krnjeg stošca sa zajedničkom (većom) bazom, bez stošca $S_2$ koji ima zajedničku manju bazu s krnjim stošcem.

Obujam ćemo izračunati tako da zbrojimo obujam stošca $S_1$ i obujam krnjeg stošca te od toga oduzmemo obujam stošca $S_2$.

Uočimo sukladne trokute $\triangle ABC\cong\triangle ABD$ (K–S–K: imaju sukladne kutove i zajedničku stranicu $AB$). Duljine stranica trokuta $ABC$ jesu

$$a=|BC|=10, \qquad b=|AC|=a\cot30^\circ=10\sqrt3, \qquad c=|AB|=\frac a{\sin30^\circ}=20.$$

Polumjer manje baze krnjeg stošca jest $r=a=10$. Iz trokuta $ACE$ računamo polumjer veće baze:

$$R=b\sin60^\circ=10\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=15.$$

U istom je trokutu visina stošca $S_1$

$$v_1=|AE|=b\cos60^\circ=5\sqrt3.$$

Visina stošca $S_2$ jest

$$v_2=|AD|=b=10\sqrt3,$$

a visina krnjeg stošca

$$v=v_2-v_1=5\sqrt3.$$

Traženi obujam je

$$\begin{aligned} V&=\frac13R^2\pi v_1 +\frac13\pi v(R^2+Rr+r^2) -\frac13r^2\pi v_2\\ &=\frac13\pi\left(1125\sqrt3+2375\sqrt3-1000\sqrt3\right) =\boxed{\frac{2500\pi\sqrt3}{3}}. \end{aligned}$$