4. Zadatak

Označimo polumjer trokutu $ABD$ opisane kružnice s $r$, a polumjer trokutu $ACD$ opisane kružnice s $R$. Prema poučku o sinusima za trokute $ABD$ i $ACD$ vrijedi

$$\frac e{\sin2\alpha}=2r=20, \qquad \frac f{\sin(180^\circ-2\alpha)}=2R=40.$$

Zato je $e=20\sin2\alpha$, $f=40\sin2\alpha$, pa je $f=2e$. Ako je $a=|AD|$, iz pravokutnog trokuta s polovicama dijagonala slijedi

$$a=\sqrt{\left(\frac e2\right)^2+\left(\frac f2\right)^2} =\frac{e\sqrt5}{2}.$$

Odavde je $\sin\alpha=\frac1{\sqrt5}$, $\cos\alpha=\frac2{\sqrt5}$, pa

$$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac45.$$

Slijedi

$$e=20\sin2\alpha=20\cdot\frac45=16, \qquad f=32.$$

Površina romba jednaka je

$$P=\frac{e\,f}{2}=\frac{16\cdot32}{2} =\boxed{256}.$$