5. Zadatak

Prvo rješenje.

Tražimo ukupan broj peteroznamenkastih brojeva oblika $x\,a\,b\,c\,y$ s različitim znamenkama, koji imaju tražena svojstva, pri čemu je $x\ne0$. Jedanaest je različitih mogućnosti za odabir prve i zadnje znamenke:

$$(x,y)\in\{(1,5),(5,1),(4,0),(5,9),(9,5),(2,6),(6,2),(3,7),(7,3),(4,8),(8,4)\}.$$

Ako je $abc$ dvoznamenkasti ili troznamenkasti broj djeljiv s $5$, tada je $c\in\{0,5\}$. S obzirom na različitost znamenaka razlikujemo dva slučaja.

1. Barem je jedna od prve ili zadnje znamenke jednaka $0$ ili $5$. Tada je četvrta znamenka $c$ jednoznačno određena i

$$(x,y,c)\in\{(1,5,0),(5,1,0),(4,0,5),(5,9,0),(9,5,0)\}.$$

Za svaki od tih pet odabira znamenaka $a$ možemo odabrati na $7$ načina, a znamenku $b$ na $6$ načina. To je ukupno $5\cdot7\cdot6=210$ brojeva.

2. Prva i zadnja znamenka različite su od $0$ i $5$. Tada

$$(x,y)\in\{(2,6),(6,2),(3,7),(7,3),(4,8),(8,4)\}.$$

Znamenku $c$ možemo odabrati na dva načina ($0$ ili $5$), znamenku $a$ na $7$ načina i znamenku $b$ na $6$ načina. To je ukupno $6\cdot2\cdot7\cdot6=504$ brojeva.

Ukupno imamo

$$210+504=\boxed{714}$$

peteroznamenkastih brojeva s traženim svojstvom.

Drugo rješenje.

Neka je $x\,a\,b\,c\,y$ traženi peteroznamenkasti broj. Prema uvjetima zadatka znamenke $x,y,c$ mogu biti jedna od sljedećih 17 mogućnosti:

$$\begin{aligned} (x,y,c)\in\{& (1,5,0),(5,1,0),(4,0,5),(5,9,0),(9,5,0),\\ &(2,6,0),(2,6,5),(6,2,0),(6,2,5),(3,7,0),(3,7,5),\\ &(7,3,0),(7,3,5),(4,8,0),(4,8,5),(8,4,0),(8,4,5)\}. \end{aligned}$$

Za svaki od tih odabira znamenku $a$ možemo odabrati na $7$ načina, a znamenku $b$ na $6$ načina. Tada je ukupno

$$17\cdot7\cdot6=\boxed{714}.$$