7. Zadatak

Udaljenost vrha $C$, od trokutu upisane kružnice, jednaka je udaljenosti vrha $C$ od točke $E$. Točka $E$ je sjecište upisane kružnice i simetrale pravog kuta.

Ako označimo s $D$ i $F$ dirališta kružnice i kateta, onda je četverokut $CFSD$ očigledno kvadrat.

Njegova dijagonala je $|CS|=r\sqrt2$, a $|CE|=r\sqrt2-r=r(\sqrt2-1)$. $(*)$

Kateta $a$ je duljine

$$a=|BC|=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{c^2-\left(\frac35c\right)^2}=\frac45c.$$

Polumjer pravokutnom trokutu upisane kružnice je

$$r=\frac{a+b-c}2=\frac{\frac45c+\frac35c-c}2=\frac15c.\quad(**)$$

Sada iz $(*)$ i $(**)$ proizlazi $|CE|=r(\sqrt2-1)=\frac15(\sqrt2-1)c$.