4. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $x$ paran broj, lijeva je strana jednakosti parna, a desna neparna pa jednadžba nema rješenja. Ako je $x$ neparan broj, $x=2k+1$, $k\in\mathbb{Z}$, tada mora vrijediti

$$5x^2-4y^2=5(2k+1)^2-4y^2=20k^2+20k+5-4y^2=2015.$$

Dana jednadžba prelazi u jednadžbu

$$20k^2+20k-4y^2=2010,$$

kojoj je lijeva strana djeljiva s $4$, a desna nije. Zato jednadžba nema rješenja u skupu cijelih brojeva.

Drugo rješenje.

Zapišimo danu jednadžbu u sljedećem obliku:

$$\begin{aligned} 5x^2-4y^2&=2015,\\ 5x^2-5-4y^2&=2010,\\ 5(x^2-1)-4y^2&=2010. \end{aligned}$$

Izraz $4y^2$ je paran pa i $5(x^2-1)$ mora biti paran. To znači da je $x$ neparan broj.

Tada je i $(x^2-1)$ i $4y^2$ djeljivo s $4$, pa bi i $2010$ moralo također biti djeljivo s $4$. Kako to nije točno, početna jednadžba nema rješenja.