6. Zadatak

Ako je $z=x+yi$, $x,y\in\mathbb{R}$, jednadžba $|z-2a|=|z-a|$ prelazi u

$$\begin{aligned} \sqrt{(x-2a)^2+y^2}&=\sqrt{(x-a)^2+y^2},\\ (x-2a)^2+y^2&=(x-a)^2+y^2,\\ x^2-4ax+4a^2&=x^2-2ax+a^2,\\ 2ax&=3a^2,\\ x&=\frac32a. \end{aligned}$$

Dakle, prvi skup točaka je pravac okomit na os $x$, $x=\frac32a$.

Analogno druga jednadžba $|z-3ai|=|z-ai|$ prelazi u

$$\sqrt{x^2+(y-3a)^2}=\sqrt{x^2+(y-a)^2},$$

što nakon sređivanja daje $y=2a$, pravac okomit na os $y$.

Dobiveni pravci s koordinatnim osima zatvaraju pravokutnik sa stranicama duljine $\frac32|a|$ i $2|a|$.

Slijedi

$$P=\frac32\cdot2a^2=75 \quad\Longrightarrow\quad a=5\ \text{ili}\ a=-5.$$

Opseg dobivenog lika je

$$O=2\cdot\frac32|a|+2\cdot2|a|=7|a|=35$$

mjernih jedinica.

Napomena: Ako učenik prepozna da su s $|z-2a|=|z-a|$ i $|z-3ai|=|z-ai|$ dane simetrale dužina, treba priznati i dati sve predviđene bodove za taj dio zadatka.