5. Zadatak

Prvo rješenje. Bez smanjenja općenitosti pretpostavimo da je $m\geq n$. Tada je $$\frac25=\frac1m+\frac1n-\frac1{mn}\leq\frac2n-\frac1{mn}<\frac2n.$$ Dakle $$\frac25<\frac2n\Longleftrightarrow n<5.$$ Sredimo jednadžbu po $m$: $$\begin{aligned} n+m-1&=\frac25mn,\\ 5n-5&=2mn-5m,\\ m&=\frac{5n-5}{2n-5}. \end{aligned}$$ Za $n=1$, $n=2$ dobivamo $m\leq0$, pa rješenje ne postoji.

Za $n=3$ dobivamo $m=\frac{5\cdot3-5}{2\cdot3-5}=10$.

Za $n=4$ dobivamo $m=\frac{5\cdot4-5}{2\cdot4-5}=\frac{15}3=5$.

Rješenja su $m=10$, $n=3$; $m=5$, $n=4$; $m=4$, $n=5$; $m=3$, $n=10$.

Drugo rješenje. Jednakost možemo napisati u obliku $$\begin{aligned} \frac{m+n-1}{mn}&=\frac25,\\ \frac{mn-m-n+1}{mn}&=1-\frac25,\\ \frac{(m-1)(n-1)}{mn}&=\frac35,\\ 5(m-1)(n-1)&=3mn \end{aligned}$$ Bez smanjenja općenitosti, možemo pretpostaviti da je $m\geq n$. Broj $m-1$ relativno je prost sa $m$, a broj $n-1$ relativno je prost sa $n$. Zato su moguće samo dvije situacije:

(a) $m-1=n$, $5(n-1)=3m$, ili (b) $m-1=3n$, $5(n-1)=m$.

U slučaju (a) slijedi $5(n-1)=3(n+1)$ pa je $n=4$ i onda $m=5$.

U slučaju (b) slijedi $5(n-1)=3n+1$ pa je $n=3$ i onda $m=10$.