4. Zadatak

Broj je djeljiv sa 72 ako je djeljiv s 8 i ako je djeljiv s 9.

Da bi broj bio djeljiv s 9, mora njegov zbroj znamenaka biti djeljiv s 9.

Da bi broj bio djeljiv s 8, mora njegov troznamenkasti završetak, broj $\overline{xyx}$, biti djeljiv s 8.

Zbroj znamenaka danog broja je $5+2x+y$.

Kako su $x,y\le9$, vrijedi

$$5+2x+y=9\quad\text{ili}\quad5+2x+y=18\quad\text{ili}\quad5+2x+y=27.$$

(1) Neka je $5+2x+y=9$. Tada je $y=4-2x$.

Broj $\overline{xyx}$ možemo zapisati kao

$$\overline{xyx}=100x+10y+x=101x+10(4-2x)=81x+40=80x+40+x.$$

To će biti djeljivo s 8 samo ako je $x=8$ ili $x=0$. No, za $x=8$ je $y=4-2\cdot8=-12$, što je nemoguće. Ako je $x=0$, onda je $y=4$ pa je traženi broj 2012040.

(2) Neka je $5+2x+y=18$. Tada je $y=13-2x$.

Broj $\overline{xyx}$ možemo zapisati kao

$$\overline{xyx}=101x+10y=81x+130=80x+128+2+x.$$

To će biti djeljivo s 8 samo ako je $2+x=8$, to jest $x=6$. Tada je $y=13-2\cdot6=1$.

(3) Neka je $5+2x+y=27$. Tada je $y=22-2x$.

$$\overline{xyx}=101x+10y=81x+220=80x+216+4+x.$$

To će biti djeljivo s 8 samo ako je $4+x=8$, to jest $x=4$. Tada je $y=22-2\cdot4=14$, što je nemoguće.

Dakle, jedino rješenje su brojevi 2012616 i 2012040.