6. Zadatak

Iz točke $P$ povučemo spojnice s vrhovima trokuta. Ako duljinu stranice trokuta označimo s $a$, površinu traženog trokuta možemo računati kao

$$P=\frac12a\cdot3+\frac12a\cdot4+\frac12a\cdot5=6a.$$

Kako je dani trokut jednakostraničan, površina se može računati po formuli $P=\frac{a^2\sqrt3}{4}$.

Zato je

$$\frac{a^2\sqrt3}{4}=6a.$$

Odatle je duljina stranice trokuta jednaka $a=\frac{24}{\sqrt3}\ \mathrm{cm}=8\sqrt3\ \mathrm{cm}$,

a duljina visine trokuta je $\frac{a\sqrt3}{2}=12\ \mathrm{cm}$.

Točkom $P$ povučena je paralela sa stranicom $AC$. Ona dijeli trokut $ABC$ na jednakostraničan trokut $DBE$ duljine visine $12\ \mathrm{cm}-3\ \mathrm{cm}=9\ \mathrm{cm}$ te jednakokračan trapez $ADEC$ s visinom duljine $3\ \mathrm{cm}$. Duljinu stranice trokuta $DBE$ možemo izračunati iz duljine visine:

$$\frac{x\sqrt3}{2}=9,\qquad x=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Površina trokuta $DBE$ jednaka je $P_1=(6\sqrt3)^2\cdot\frac{\sqrt3}{4}=27\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$.

Površina trapeza $ADEC$ jednaka je $P_2=\frac{8\sqrt3+6\sqrt3}{2}\cdot3=21\sqrt3\ \mathrm{cm}^2$.

Traženi omjer je

$$\frac{P_1}{P_2}=\frac{27\sqrt3}{21\sqrt3}=\frac97 \quad\text{ili}\quad \frac{P_2}{P_1}=\frac79.$$