4. Zadatak

Napišimo dani izraz u obliku umnoška dva prirodna broja.

$$\begin{aligned} 6^{2n+2}-2^{n+3}\cdot3^{n+2}+36 &=6^{2n}\cdot6^2-2^n\cdot2^3\cdot3^n\cdot3^2+36\\ &=6^{2n}\cdot36-6^n\cdot72+36\\ &=36(6^{2n}-2\cdot6^n+1)\\ &=36(6^n-1)^2. \end{aligned}$$

Dobiveni je izraz očito djeljiv s $36$, a s obzirom da je $6^n-1$ djeljivo s $5$ za sve prirodne brojeve $n$, slijedi da je dani broj djeljiv s $36\cdot25=900$.

Napomena: Tvrdnja da je $6^n-1$ djeljivo s $5$ slijedi iz $6^n-1=(6-1)(6^{n-1}+6^{n-2}+\cdots+6+1)$ i ne treba ju dokazivati.