5. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka je $x=\overline{abc}$ traženi broj i $n=a+b+c$.

Tada je $x=3n^2$.

Za $n\leq5$ i $n\geq19$ broj $3n^2$ nije troznamenkast.

Provjerimo za koje brojeve $n\in\{6,7,8,\ldots,18\}$ vrijedi traženo svojstvo koristeći tablicu

$n$	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
$3n^2$	108	147	192	243	300	363	432	507	588	675	768	867	972
$zbroj$	9	12	12	9	3	12	9	12	21	18	21	21	18

Uvjete zadatka ispunjavaju brojevi $243$ i $972$.

Drugo rješenje.

Neka je $x=\overline{abc}$ traženi broj.

Prema uvjetu zadatka vrijedi $\overline{abc}=3(a+b+c)^2$.

Očito je traženi broj djeljiv s $3$, a tada je i zbroj njegovih znamenaka djeljiv s $3$, odnosno $a+b+c=3k$, $k\in\mathbb N$.

Tada je $\overline{abc}=3(a+b+c)^2=27k^2$.

Ovo će biti troznamenkasti broj ako je $k^2\in\{4,9,16,25,36\}$.

Slijedi $\overline{abc}\in\{108,243,432,675,972\}$.

Izravnom provjerom zaključujemo da uvjete zadatka zadovoljavaju jedino brojevi

$$243=3(2+4+3)^2\quad\text{i}\quad972=3(9+7+2)^2.$$