2. Zadatak

Prvo rješenje.

Neka se to dogodi $x$ minuta nakon 13:00.

Velika (minutna) kazaljka za jednu minutu pređe $\frac1{60}$ punog kruga, tj. $6^\circ$.

Mala (satna) kazaljka za jedan sat pređe $30^\circ$, pa za jednu minutu pređe $0.5^\circ$.

Nakon $x$ minuta velika kazaljka pređe $6x$ stupnjeva, a mala kazaljka $\frac12x$ stupnjeva.

Kazaljke će zatvarati ispružen kut ($180^\circ$) ako je pređeni kut velike kazaljke za $210^\circ$ veći od pređenog kuta male kazaljke (mala kazaljka kreće od položaja ”1”, a velika od položaja ”12”).

Dakle, mora biti

$$6x=210+\frac12x$$

tj. $x=\frac{420}{11}=38\frac2{11}$.

Kazaljke će zatvarati ispruženi kut u 13 sati i $38\frac2{11}$ minuta.

Drugo rješenje.

Velika (minutna) kazaljka za 60 minuta napravi puni krug, pa kut $\alpha$ pređe za

$$\frac\alpha{360^\circ}\cdot60=\frac\alpha6\quad\text{minuta},$$

a mala (satna) kazaljka napravi puni krug za 12 sati što je $12\cdot60$ minuta, pa kut $\alpha$ pređe za

$$\frac\alpha{360^\circ}\cdot12\cdot60=2\alpha\quad\text{minuta}.$$

U 13:00 sati mala kazaljka pokazuje na 1, a velika na 12, pa mala kazaljka ima na početku $360^\circ/12=30^\circ$ prednosti. Stoga, ako je u trenutku kad kazaljke zatvaraju ispruženi kut velika kazaljka prešla $\alpha$ stupnjeva, onda je mala kazaljka prešla

$$(\alpha-180^\circ)-30^\circ=\alpha-210^\circ.$$

Vrijeme $t$ proteklo do tog trenutka može se zapisati na dva načina koristeći pređeni kut velike, odnosno male, kazaljke:

$$t=\frac\alpha6=2(\alpha-210^\circ).$$

Rješenje te jednadžbe po $\alpha$ je

$$\alpha=\frac{6\cdot420^\circ}{11},$$

pa je

$$t=\frac\alpha6=\frac{420}{11}=38\frac2{11}\quad\text{minuta}.$$

i kazaljke će zatvarati ispruženi kut u 13 sati i $38\frac2{11}$ minuta.