4. Zadatak

Zadatak ćemo riješiti na dva načina. Uočimo najprije da:

1. sve potencije broja 5 završavaju znamenkom 5,
2. sve potencije broja 8 završavaju redom znamenkama 8, 4, 2, 6 i zatim se periodički ponavljaju.

1. način

Zbog gore navedene činjenice pojedine zagrade umnoška

$$\begin{aligned} 8-5&=3,\\ 8^2-5^2&=64-25=39,\\ 8^3-5^3&=512-125=387,\\ 8^4-5^4&=4096-625=3471,\\ 8^5-5^5&=\overline{\ldots8}-\overline{\ldots5}=\overline{\ldots3},\\ 8^6-5^6&=\overline{\ldots4}-\overline{\ldots5}=\overline{\ldots9} \end{aligned}$$

redom završavaju znamenkama 3, 9, 7, 1 i dalje se periodički ponavljaju.

Budući da je $3\cdot9\cdot7\cdot1=189$, umnožak četiri uzastopne zagrade završava znamenkom 9. Nadalje $9^2=81$, pa umnožak osam uzastopnih zagrada završava znamenkom 1.

Ostatak pri dijeljenju s 8 broja 2006 (toliko zagrada ima) je 6, pa je dovoljno naći zadnju znamenku umnoška prvih 6 zagrada. Dakle,

$$(3\cdot9\cdot7\cdot1)\cdot3\cdot9=\overline{\ldots9}\cdot3\cdot9=\overline{\ldots3}$$

i zadnja znamenka je 3.

2. način

Množenjem zadanih 2006 zagrada ‘svaki sa svakim’ svi pribrojnici u kojima se javljaju i potencije od 8 i potencije od 5 završavaju nulom jer sadrže barem jedan faktor 2 i barem jedan faktor 5, pa su sigurno djeljivi s 10.

Stoga je zadnja znamenka zadanog umnoška jednaka zadnjoj znamenki zbroja

$$8\cdot8^2\cdot8^3\cdot\ldots\cdot8^{2006}+5\cdot5^2\cdot5^3\cdot\ldots\cdot5^{2006},$$

jer su to jedini pribrojnici koji ne završavaju nulom.

Drugi pribrojnik je potencija broja 5 pa prema gore navedenoj činjenici završava znamenkom 5. Prvi pribrojnik je jednak

$$8^{1+2+3+\ldots+2006}=8^{\frac{2006\cdot2007}{2}}=8^{2013021}.$$

Kao u 1. slučaju pokazuje se da $8\cdot4\cdot2\cdot6$ završava znamenkom 1.

Budući da 2013021 pri dijeljenju s 4 daje ostatak 1, opet zbog gore navedene činjenice, prvi pribrojnik završava znamenkom 8. Nadalje, $8+5=13$ pa je tražena zadnja znamenka 3.