4. Zadatak

Prvo rješenje.

Ako je $a^3+1$ djeljivo s $3$, broj $a$ je oblika $a=3p-1$, $p\in\mathbb N$. Tada je

$$a^3+1=(3p-1)^3+1=27p^3-27p^2+9p-1+1=9p(3p^2-3p+1).$$

Izraz $3p^2-3p+1$ nije djeljiv s $3$, a kako je $a^3+1$ potencija broja $3$ on može biti samo jednak $3^0$. Tada iz

$$3p^2-3p+1=1$$

slijedi da je $p=1$, a $a^3+1=9$ pa je $a=2$.

Drugo rješenje.

Neka je $a^3+1=3^k$. Tada iz rastava $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$ slijedi da je

$$a+1=3^m\qquad\text{i}\qquad a^2-a+1=3^n,$$

gdje su $m$ i $n$ nenegativni cijeli brojevi.

Iz $a+1=3^m$ zaključujemo da $a$ nije djeljiv s $3$. U protivnom bi $m=0$, a tada je i $a=0$ što je nemoguće jer je $a$ prirodan broj. Iz $a^2-a+1=3^n$ slijedi

$$a^2+2a+1-3a=3^n,$$

odnosno

$$(a+1)^2-3a=3^n.$$

Odatle je

$$3a=(a+1)^2-3^n=3^{2m}-3^n,$$ $$a=3^{2m-1}-3^{n-1}.$$

Ovaj je prikaz moguć samo ako je $n-1=0$ jer bi u protivnom $a$ bio djeljiv s $3$. Prema tome $n=1$ i slijedi

$$a^2-a+1=3^1,$$ $$a^2-a-2=0,$$ $$a=2.$$