5. Zadatak

Označimo položaje stabala redom točkama $A$, $B$, $C$ i $D$, a položaj promatrača točkom $P$.

Uvedimo oznake:

$$\angle APB=\angle BPC=\angle CPD=\alpha,$$ $$|AP|=a,\qquad |BP|=b,\qquad |CP|=c.$$

Primijenimo poučak o sinusu na trokute $APB$ i $BPC$:

$$\frac6{\sin\alpha}=\frac a{\sin\angle PBA}\qquad\text{i}\qquad\frac4{\sin\alpha}=\frac c{\sin(180^\circ-\angle PBA)}.$$

Slijedi

$$\frac ac=\frac32.$$

Analogno se iz trokuta $BPC$ i $CPD$ dobije

$$\frac bd=\frac12.$$

Napomena. Ove omjere mogli smo dobiti i primjenom poučka o simetrali unutarnjeg kuta trokuta na trokute $APC$ i $BPD$.

Iz poučka o kosinusu i navedenih omjera imamo:

$$\begin{cases} a^2+b^2-2ab\cos\alpha=36\\ b^2+c^2-2bc\cos\alpha=16\\ c^2+d^2-2cd\cos\alpha=64 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 9c^2+4b^2-12bc\cos\alpha=144\\ b^2+c^2-2bc\cos\alpha=16\\ c^2+4b^2-4bc\cos\alpha=64 \end{cases}$$

Iz druge jednadžbe je

$$2bc\cos\alpha=b^2+c^2-16,$$

što nakon uvrštavanja u prvu i treću jednadžbu daje

$$\begin{cases} 9c^2+4b^2-6b^2-6c^2+96=144\\ c^2+4b^2-2b^2-2c^2+32=64 \end{cases}$$

odnosno

$$\begin{cases} 3c^2-2b^2=48\\ -c^2+2b^2=32. \end{cases}$$

Slijedi $c^2=40$, $b^2=36$.

Tada su tražene udaljenosti

$$c=2\sqrt{10}\,\text{m},\qquad b=6\,\text{m},\qquad a=\frac32c=3\sqrt{10}\,\text{m},\qquad d=2b=12\,\text{m}.$$