Osnovna škola Srednja škola A Srednja škola B

Pretraži zadatke

Učenik može koristiti osnovne filtere, dok Prof. može dodatno filtrirati zadatke prema temama.

Pročitaj više →

←Vrati se na zadatke

Srednja škola

4. razred

B varijanta

Državno natjecanje

2014. godina

Bodovi: 10

Područja

Algebra i funkcije

Teme

Algebarsko preoblikovanje izraza
Nizovi, uzorci i konačni zbrojevi

Zadaci ovog natjecanja

1.
2.
3.
4.
5.

2. Zadatak

Opći član niza $a_n$ dan je formulom

a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt n+n\sqrt{n+1}}.

Odredite zbroj prvih $9999$ članova tog niza.

Rješenje

Opći član niza možemo zapisati u sljedećem obliku

\begin{aligned} a_n&=\frac{1}{(\sqrt{n+1})^2\sqrt n+(\sqrt n)^2\sqrt{n+1}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt n(\sqrt{n+1}+\sqrt n)}\\ &=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt n}{\sqrt n\sqrt{n+1}(n+1-n)}\\ &=\frac1{\sqrt n}-\frac1{\sqrt{n+1}}. \end{aligned}

Traženi zbroj tada iznosi

\begin{aligned} a_1+a_2+\cdots+a_{9999} &=\frac1{\sqrt1}-\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt2}-\frac1{\sqrt3}+\frac1{\sqrt3}-\frac1{\sqrt4}+\cdots+\frac1{\sqrt{9999}}-\frac1{\sqrt{10000}}\\ &=1-\frac1{\sqrt{10000}}=\frac{99}{100}. \end{aligned}

Izvor

Ministarstvo znanosti, obrazovanja i sporta Republike Hrvatske · Agencija za odgoj i obrazovanje · Hrvatsko matematičko društvo

2014-SS-drzavno-B-1234-zad.pdf
2014-SS-drzavno-B-1234-rj.pdf

Matematički zadaci s natjecanja

Neovisni volonterski projekt. Ovo nije službena stranica Hrvatskog matematičkog društva, Agencije za odgoj i obrazovanje ni nadležnog ministarstva.

Izvori i ustanove navedeni su uz svaki zadatak.

Privatnost Politika kolačića

Zadaci

Osnovna škola
Srednja škola A
Srednja škola B

Korisni linkovi

Kako koristiti stranicu
Matematička natjecanja
Hrvatsko matematičko društvo

Vidiš neku grešku?

Javi nam ako tekst, formula, tema, slika ili rješenje nisu točni.

Projekt je razvio i održava Petar.

Može jedan kolačić?

Analitika nam pomaže poboljšati stranicu — ali samo ako je tebi to prihvatljivo.

Postavke kolačića

Ti odlučuješ smijemo li uključiti analitiku. Nužna pohrana uvijek je uključena jer omogućuje funkcije koje sam zatražiš.

NužnoLista za ispis, filtri i tvoj odabir privatnosti.

AnalitikaGoogle Analytics 4, samo uz tvoju privolu.

Pogledaj Politiku kolačića za potpuni popis pohrane, svrhe i trajanja.

Prijavi grešku

Moguće su pogreške u prijepisu, formulama, temama, slikama ili rješenjima. Hvala što nam pomažeš poboljšati stranicu.

Vrsta problemaOpis problemaKontakt e-mail neobaveznoE-mail koristimo samo ako trebamo dodatno objašnjenje ili ti želimo javiti da je problem ispravljen. Kako obrađujemo podatke.Web-stranica

Hvala na prijavi

Prijava je poslana i bit će pregledana.

Lista za ispis 0

Sortiraj:

Sadržaj za ispis Zadatak Uključi rješenja