1. Zadatak

Pomnožimo danu jednadžbu s $13!$,

$$\frac{13!}{2!11!}+\frac{13!}{3!10!}+\frac{13!}{4!9!}+\frac{13!}{5!8!}+\frac{13!}{6!7!}=\frac{N\cdot13!}{1!12!}.$$

Tada dobivamo

$$\binom{13}{2}+\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}+\binom{13}{6}=N\binom{13}{1}.$$

Dodajmo na obje strane $\binom{13}{0}+\binom{13}{1}$,

$$\binom{13}{0}+\binom{13}{1}+\binom{13}{2}+\binom{13}{3}+\binom{13}{4}+\binom{13}{5}+\binom{13}{6}=N\binom{13}{1}+\binom{13}{0}+\binom{13}{1}.$$

Zbroj svih binomnih koeficijenata u razvoju binoma $(a+b)^n$ iznosi $2^n$. Tada je lijeva strana gornje jednakosti jednaka $\frac{2^{13}}{2}$ jer je zbroj binomnih koeficijenata koji nedostaju,

$$\binom{13}{7}+\binom{13}{8}+\cdots+\binom{13}{13},$$

jednak zbroju

$$\binom{13}{0}+\binom{13}{1}+\cdots+\binom{13}{6}$$

(zbog svojstva simetrije). Slijedi

$$\frac{2^{13}}{2}=N\binom{13}{1}+\binom{13}{0}+\binom{13}{1},$$ $$2^{12}=13N+1+13,$$ $$2^{12}-1=13(N+1),$$ $$(2^6-1)(2^6+1)=13(N+1),$$ $$N=\frac{63\cdot65}{13}-1=314.$$