4. Zadatak

Prvo rješenje

Uočimo da su kutovi $\angle EFG$, $\angle EAG$ i $\angle ABD$ jednaki, pa su dužine $\overline{FG}$ i $\overline{BD}$ paralelne. Trokuti $GFB$ i $GFD$ imaju zajedničku osnovicu, a zbog paralelnosti dužina $\overline{FG}$ i $\overline{BD}$ jednake su im i visine na tu osnovicu. Stoga su im jednake i površine jer je $P(GFB)=P(GFD)$, pa oduzimanjem zajedničkog dijela $FGH$ dobivamo $P(FBH)=P(GHD)$.

Drugo rješenje

Uz oznake kao na slici, površina trokuta $FBG$ je $\frac{(a-2x)y}{2}$. Površina trokuta $GFD$ jednaka je površini trokuta $AFD$ umanjenoj za površinu trapeza $DAEG$ i površinu trokuta $EFG$, odnosno

$$P(GFD)=\frac{2x\cdot b}{2}-\frac{(b+y)x}{2}-\frac{xy}{2}.$$

Trokuti $AEG$ i $ABC$ su slični, pa je

$$\frac xy=\frac ab\quad\text{tj.}\quad y=\frac{bx}{a}.$$

Sada je

$$\begin{aligned} P(GFD)&=xb-\frac12\left(b+\frac{bx}{a}\right)x-\frac12x\cdot\frac{bx}{a}=\frac12bx-\frac{bx^2}{a}\\ &=\frac{bx}{2a}(a-2x)=\frac12y(a-2x)=P(FBG). \end{aligned}$$

Kako su površine trokuta $FBG$ i $GFD$ jednake, slijedi da su i površine trokuta $FBH$ i $GHD$ jednake.