3. Zadatak

Površina četverokuta $ABCD$ jednaka je zbroju polovina površina jednakostraničnih trokuta $AMD$ i $MBC$ i površine trapeza $D_1C_1CD$.

Uz oznake $|AB|=a$, $|AM|=x$, vrijedi $|BM|=a-x$, $|C_1D_1|=\frac a2$, pa je tražena površina

$$\begin{aligned} P&=\frac12\cdot\frac{x^2\sqrt3}{4}+\frac12\cdot\frac{(a-x)^2\sqrt3}{4}+\frac12\cdot\left(\frac{x\sqrt3}{2}+\frac{(a-x)\sqrt3}{2}\right)\cdot\frac a2\\ &=\frac{x^2\sqrt3}{4}-\frac{ax\sqrt3}{4}+\frac{a^2\sqrt3}{4}. \end{aligned}$$

Kvadratna jednadžba $ax^2+bx+c=0$, $a>0$ poprima minimum za $x_0=-\frac b{2a}$. U našem slučaju je $x_0=\frac a2$.

Dakle, točka $M$ mora biti u polovištu dužine $\overline{AB}$.