4. Zadatak

Označimo li duljine stranica pravokutnika $a$ i $b$, a kut između dijagonala s $\varphi$, tada je $\operatorname{tg}\frac\varphi2=\frac ba$.

Označimo $x=\frac ba$. Bez gubljenja na općenitosti možemo uzeti da je $a\geq b$, to jest $x\leq1$. Iz zadanih uvjeta slijedi $$ab=\frac3{16}s^2.\tag{1}$$ i $a+b=s$.

Odavde je $a^2+b^2+2ab=s^2$, to jest $$a^2+b^2=\frac58s^2.\tag{2}$$ Iz (1) i (2) imamo $$\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{10}3,\qquad\frac ab+\frac ba=\frac{10}3,\qquad\frac1x+x=\frac{10}3.$$ Budući je $x\ne0$, ovu jednadžbu možemo pomnožiti s $x$ i dobijemo $$3x^2-10x+3=0.$$ Rješenja ove jednadžbe su $x_1=\frac13$, $x_2=3$. Zbog $x\leq1$, samo prvo uzimamo u obzir.

Sada imamo $\operatorname{tg}\frac\varphi2=\frac13$. Odatle je $$\operatorname{tg}\varphi=\frac{2\operatorname{tg}\frac\varphi2}{1-\operatorname{tg}^2\frac\varphi2}=\frac{\frac23}{1-\frac19}=\frac34.$$