2. Zadatak

Prvo rješenje. Označimo s $x$, $y$ i $z$ duljine dijagonala od najkraće prema najduljoj.

Najduljih dijagonala ima četiri, dok preostalih dviju ima po osam, pa je zbroj duljina dijagonala jednak $8x+8y+4z$.

Izračunajmo $x$. Kut pravilnog osmerokuta je $135^\circ$.

Prema kosinusovom poučku je $$x^2=1^2+1^2-2\cos135^\circ=2+\sqrt2,$$ pa je $$x=\sqrt{2+\sqrt2}.$$ Izračunajmo $z$.

Opet prema kosinusovom poučku imamo $$1^2=\left(\frac z2\right)^2+\left(\frac z2\right)^2-2\cdot\frac z2\cdot\frac z2\cdot\cos45^\circ=\frac{z^2}2-\frac{z^2\sqrt2}4,$$ odakle slijedi $$z=\sqrt{4+2\sqrt2}.$$ Konačno, izračunajmo $y$. Trokut $ADE$ je pravokutan (četverokut $ADEH$ je paralelogram koji je centralnosimetričan, pa mora biti pravokutnik).

Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo: $$y^2=z^2-1=3+2\sqrt2,$$ t.j. $$y=\sqrt{3+2\sqrt2}.$$ Zbroj duljina dijagonala je, dakle $8\sqrt{2+\sqrt2}+8\sqrt{3+2\sqrt2}+4\sqrt{4+2\sqrt2}$.

Drugo rješenje. Nakon što smo izračunali $x$, računamo $y$. Kut pri vrhu $C$ u trokutu $ACD$ iznosi $$135^\circ-\frac12\cdot45^\circ=112^\circ30'.$$ Primjenom kosinusovog poučka u tom trokutu, dobivamo $$y^2=x^2+1^2-2x\cos112^\circ30'$$ t.j. $$y=\sqrt{2+\sqrt2+1+2\cdot\sqrt{2+\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2}=\sqrt{3+2\sqrt2}.$$ Pri tome smo koristili $\cos112^\circ30'=-\sqrt{\frac{1+\cos225^\circ}{2}}=-\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}2$.

Tada računamo $z=\sqrt{y^2+1}=\sqrt{4+2\sqrt2}$.