6. Zadatak

Neka je vrh stošca prema dolje kao što je kod stošca lijevo na slici. Polumjer baze stošca i polumjer $x$ (na visini 9 cm) u omjeru su kao dubina tekućine i visina stošca,

$$k=\frac x5=\frac9{12}=\frac34.$$

Tada su obujam tekućine $V_1$ i obujam cijelog stošca $V$ u omjeru

$$\frac{V_1}{V}=k^3=\left(\frac34\right)^3=\frac{27}{64}.$$

Slijedi da je obujam ulivene tekućine

$$V_1=\frac{27}{64}V,$$

a obujam dijela stošca bez tekućine je

$$V_2=V−\frac{27}{64}V=\frac{37}{64}V.$$

Promotrimo sada slučaj kada je vrh stošca prema gore kao što je kod stošca desno na slici. Tekućina koju smo ulili na početku zauzima obujam $V_1=\frac{27}{64}V$, obujam tekućine koju treba doliti do visine 9 cm označit ćemo s $V_t$, a obujam dijela stošca koji je bez tekućine s $V_3$. Kao i u prvom slučaju zaključujemo da je

$$\frac{V_3}{V}=\left(\frac y5\right)^3=\left(\frac3{12}\right)^3=\frac1{64},$$

pa slijedi

$$V_3=\frac1{64}V.$$

Traženi obujam možemo izračunati iz

$$V_t=V_2−V_3=\frac{36}{64}V=\frac9{16}V$$

(ili $V_t=V−V_1−V_3$).

Kako je obujam danog stošca

$$V=\frac{r^2\pi}{3}\cdot h=100\pi\ \mathrm{cm}^3,$$

slijedi

$$V_t=\frac{225\pi}{4}\ \mathrm{cm}^3.$$