3. Zadatak

Odredimo vrijednost broja

$$x=\frac1{\sqrt{5−2\sqrt6}}−\frac1{\sqrt{5+2\sqrt6}}.$$

Tada je

$$x=\frac{\sqrt{5+2\sqrt6}−\sqrt{5−2\sqrt6}}{\sqrt{5−2\sqrt6}\cdot\sqrt{5+2\sqrt6}} =\frac{\sqrt{5+2\sqrt6}−\sqrt{5−2\sqrt6}}{\sqrt{25−24}} =\sqrt{5+2\sqrt6}−\sqrt{5−2\sqrt6}.$$

Uočimo da je $x>0$. Tada je

$$\begin{aligned} x^2&=\left(\sqrt{5+2\sqrt6}−\sqrt{5−2\sqrt6}\right)^2\\ &=5+2\sqrt6−2\sqrt{5+2\sqrt6}\sqrt{5−2\sqrt6}+5−2\sqrt6\\ &=8. \end{aligned}$$

Kako je $x>0$, slijedi $x=\sqrt8=2^{3/2}$. Tada je broj $x^n=(2^{3/2})^n$ racionalan ako i samo ako je $n$ paran broj.