4. Zadatak

Neka je $\angle BAC=\alpha$. Tada je $\angle CBA=2\alpha$. Neka je $D$ točka u kojoj simetrala kuta $\angle CBA$ siječe stranicu $AC$. Uz oznake kao na slici vrijedi $\angle BDC=2\alpha$ (vanjski kut trokuta $ABD$), $a:c=4:5$, $b=18$, $|AD|=x$.

Prema poučku o simetrali kuta u trokutu vrijedi da je

$$\frac{b-x}{x}=\frac ac=\frac45,$$

pa redom imamo

$$\begin{aligned} 4x&=5(18-x)\\ 9x&=90\\ x&=10\\ \Rightarrow b-x&=8. \end{aligned}$$

Trokuti $ABC$ i $BDC$ su slični prema poučku KK, pa vrijedi

$$\frac{b-x}{a}=\frac ab=\frac xc,$$

iz čega dobivamo $a^2=18\cdot8$, odnosno $a=12$. Sada iz uvjeta zadatka (ili sličnosti) slijedi $c=15$.

Opseg trokuta $ABC$ iznosi $12+15+18=45$. Površinu možemo izračunati koristeći Heronovu formulu:

$$\begin{aligned} P&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\\ &=\sqrt{\frac{45}{2}\left(\frac{45}{2}-12\right)\left(\frac{45}{2}-15\right)\left(\frac{45}{2}-18\right)}\\ &=\frac14\sqrt{45\cdot21\cdot15\cdot9}=\frac{135}{4}\sqrt7. \end{aligned}$$

Napomena: Duljina $x$ može se izračunati i koristeći, uz zadane uvjete, samo sličnost gore navedenih trokuta, umjesto korištenjem poučka o simetrali kuta.

Površinu trokuta $ABC$ možemo izračunati i na sljedeći način.

U jednakokračnom trokutu $ADB$ visina na osnovicu $AB$ jednaka je

$$v_D=\sqrt{x^2-\left(\frac c2\right)^2}=\frac{5\sqrt7}{2}.$$

Tada iz pravokutnog trokuta $AND$ dobivamo $\sin\alpha=\frac{\frac{5\sqrt7}{2}}{10}=\frac{\sqrt7}{4}$, pa tražena površina iznosi:

$$P=\frac{b\cdot v_B}{2}=\frac{b\cdot c\sin\alpha}{2}=\frac{18\cdot15\cdot\sqrt7}{8}=\frac{135\sqrt7}{4}.$$