3. Zadatak

Označimo brojeve pridružene vrhovima kvadrata s $a,b,c$ i $d$ pri čemu su $a,b,c,d\in\{1,2,\ldots,15\}$. Prema uvjetima iz zadatka, zbrojevi $a+b+c,a+b+d,a+c+d,b+c+d$ moraju biti djeljivi s $3$. Promatramo sve slučajeve u kojima to možemo postići.

Prvi slučaj: sva četiri odabrana broja su djeljiva s 3.

Tada četiri broja biramo iz skupa $\{3,6,9,12,15\}$. Od $5$ različitih brojeva, četiri različita broja možemo odabrati na $5$ načina (jer biramo jedan koji nećemo uzeti).

Drugi slučaj: sva četiri odabrana broja pri dijeljenju s 3 daju ostatak 1.

Tada četiri broja biramo iz skupa $\{1,4,7,10,13\}$. Njih ponovno možemo odabrati na $5$ načina.

Treći slučaj: sva četiri odabrana broja pri dijeljenju s 3 daju ostatak 2.

Tada četiri broja biramo iz skupa $\{2,5,8,11,14\}$. Njih ponovno možemo odabrati na $5$ načina.

Četvrti slučaj: u svakoj trojci čiji zbroj promatramo, jedan od odabranih brojeva pri dijeljenju s 3 daje ostatak 0, drugi 1, a treći 2.

Pokažimo da je ovo nemoguće postići za sve odabire tri broja iz skupa $\{a,b,c,d\}$. Bez smanjenja općenitosti promatrajmo odabir u kojem je broj $a$ djeljiv s $3$, broj $b$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $1$, a broj $c$ ostatak $2$.

Ako je sada broj $d$ djeljiv s $3$, zbrojevi $a+b+d$ i $a+c+d$ neće biti djeljivi s $3$. Ako broj $d$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $1$, zbrojevi $a+b+d$ i $b+c+d$ nisu djeljivi s $3$. Ako broj $d$ pri dijeljenju s $3$ daje ostatak $2$, zbrojevi $a+c+d$ i $b+c+d$ nisu djeljivi s $3$.

Dakle, ostatci pri dijeljenju s $3$ moraju biti jednaki za sva $4$ broja $a,b,c$ i $d$, pa je ukupan broj odabira brojeva za numeriranje vrhova kvadrata jednak $5+5+5=15$. Za svaki od tih odabira, četiri broja možemo razmjestiti na $4\cdot3\cdot2\cdot1=24$ načina, pa je ukupno $15\cdot24=360$ različitih mogućnosti numeracije vrhova kvadrata uz dane uvjete.