2. Zadatak

Dva realna broja imaju istu apsolutnu vrijednost ako i samo ako su to ili jednaki brojevi ili suprotni brojevi. Dakle, vrijedi da je

$$|x-2023|+2022x=2022-|2023-x|$$

ili

$$|x-2023|+2022x=-2022+|2023-x|.$$

Uočimo da vrijedi $|x-2023|=|2023-x|$. U prvom slučaju dobijemo jednadžbu

$$2|x-2023|=2022-2022x,$$

odnosno

$$|x-2023|=1011-1011x.$$

Ova će jednadžba imati rješenje ako je $1011-1011x\geq0$, odnosno ako je $x\leq1$. Tada je ili

$$\begin{aligned} x-2023&=1011-1011x\\ 1012x&=3034\\ x&=\frac{3034}{1012}>1, \end{aligned}$$

pa to nije rješenje, ili je

$$\begin{aligned} x-2023&=-1011+1011x\\ -1010x&=1012\\ x&=-\frac{1012}{1010}=-\frac{506}{505}, \end{aligned}$$

što jest rješenje.

U drugom slučaju iz $|x-2023|+2022x=-2022+|2023-x|$ dobivamo $2022x=-2022$, pa slijedi $x=-1$.

Sva rješenja dane jednadžbe su $x=-\frac{506}{505}$ i $x=-1$.