6. Zadatak

Prvo rješenje.

Iz $x_1^2+x_2^2=2012^2$ i Vieteovih formula slijedi

$$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2012^2,$$

odnosno

$$p^2-2q=2012^2. \tag{*}$$

Kako je $|p-q|=2012$, imamo dva slučaja:

$$p-q=2012 \qquad\text{ili}\qquad p-q=-2012,$$

odnosno dva sustava

$$\begin{cases} p-q=2012,\\ p^2-2q=2012^2 \end{cases} \qquad\text{i}\qquad \begin{cases} p-q=-2012,\\ p^2-2q=2012^2. \end{cases}$$

U prvom slučaju $q=p-2012$, što s $(*)$ daje

$$p^2-2p-2010\cdot2012=0,$$

odnosno

$$(p-2012)(p+2010)=0.$$

Tada su rješenja prvog sustava $p_1=2012,\ q_1=0$ i $p_2=-2010,\ q_2=-4022$.

U drugom slučaju $q=p+2012$, što s $(*)$ daje

$$p^2-2p-2014\cdot2012=0,$$

odnosno

$$(p-2014)(p+2012)=0.$$

Tada su rješenja drugog sustava $p_3=2014,\ q_3=4026$ i $p_4=-2012,\ q_4=0$.

Kvadratne jednadžbe su

$$x^2+2012x=0,\qquad x^2-2012x=0,\qquad x^2+2014x+4026=0,\qquad x^2-2010x-4022=0.$$

Drugo rješenje.

Iz $x_1^2+x_2^2=2012^2$ i Vieteovih formula slijedi

$$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2012^2,$$

odnosno $p^2-2q=2012^2$. Kvadriranjem jednakosti $|p-q|=2012$ imamo

$$p^2-2pq+q^2=2012^2.$$

Oduzimanjem ovih jednakosti dobivamo

$$q^2-2pq+2q=0,$$

odnosno $q(q-2p+2)=0$. Odatle je $q=0$ ili $q-2p+2=0$.

U slučaju $q=0$, iz $(*)$ dobivamo $p=\pm2012$.

U drugom slučaju $q=2p-2$, iz $(*)$ dobivamo

$$p^2-4p+4=2012^2,$$

odnosno $(p-2)^2=2012^2$. Rješenja su $p_1=2014,\ q_1=4026$ i $p_2=-2010,\ q_2=-4022$.

Kvadratne jednadžbe su

$$x^2+2012x=0,\qquad x^2-2012x=0,\qquad x^2+2014x+4026=0,\qquad x^2-2010x-4022=0.$$