5. Zadatak

Prvo rješenje.

Kako je $m$ prirodan broj, vrijedi

$$x^2-5x+4=m \qquad\text{ili}\qquad x^2-5x+4=-m,$$

tj.

$$x^2-5x+4-m=0 \qquad\text{ili}\qquad x^2-5x+4+m=0.$$

Svaka od ovih jednadžbi imat će dva različita realna rješenja ako je njezina diskriminanta veća od 0. Dakle, mora vrijediti

$$25-4(4-m)>0 \qquad\text{i}\qquad 25-4(4+m)>0.$$

Odatle slijedi $m>-\frac94$ i $m<\frac94$. Kako je $m\in\mathbb{N}$, slijedi $m=1$ ili $m=2$.

Drugo rješenje.

Nacrtamo graf funkcije $f(x)=|x^2-5x+4|$.

Pravac $y=m$ siječe graf funkcije $f$ u četiri različite točke ako je $m=1$ ili $m=2$.