3. Zadatak

Jednadžba ima smisla za $x>0$.

Kako iz $\log_6x=\frac{\log_5x}{\log_56}$ slijedi $\log_6x\cdot\log_56=\log_5x$, to je

$$x^{\log_56}=(6^{\log_6x})^{\log_56}=6^{\log_6x\cdot\log_56}=6^{\log_5x}.$$

Nadalje,

$$6^{\log_5\sqrt{x}}=6^{\frac12\log_5x}=(6^{\log_5x})^{1/2}=\sqrt{6^{\log_5x}}.$$

Sada danu jednadžbu možemo zapisati u obliku

$$6^{\log_5x}-5\sqrt{6^{\log_5x}}=6.$$

Supstitucijom $\sqrt{6^{\log_5x}}=t$ dobivamo kvadratnu jednadžbu $t^2-5t-6=0$ čija su rješenja $t_1=6$ i $t_2=-1$.

Kako je $t>0$, imamo samo jedno rješenje.

$$\sqrt{6^{\log_5x}}=6\Rightarrow\log_5x=2\Rightarrow x=25.$$