1. Zadatak

Kako je $|\sin2x|\le1$, $\forall x\in\mathbb R$, to je $1-\sin2x\ge0$, $\forall x\in\mathbb R$, pa je dana nejednadžba ekvivalentna nejednadžbi

$$\sin^2x-2\sin2x+3\cos^2x\ge0,$$

uz uvjet $\sin2x\ne1$, odnosno $x\ne\frac\pi4$.

Primjenom formule za $\sin2x$, slijedi

$$\sin^2x-4\sin x\cos x+3\cos^2x\ge0.$$

Kako je $x\ne\pm\frac\pi2$, to je $\cos x\ne0$ i možemo danu nejednadžbu podijeliti s $\cos^2x$. Slijedi

$$\tg^2x-4\tg x+3\ge0.$$

Uvedimo supstituciju $\tg x=t$.

Dobivamo kvadratnu nejednadžbu $t^2-4t+3\ge0$ kojoj su rješenja brojevi $t\le1$ ili $t\ge3$.

Slijedi $\tg x\le1$ ili $\tg x\ge3$. Tražimo rješenja ove nejednadžbe samo na intervalu $\left\langle-\frac\pi2,\frac\pi2\right\rangle$.

S grafa čitamo rješenje, uz uvjet $x\ne\frac\pi4$,

$$x\in\left\langle-\frac\pi2,\frac\pi4\right\rangle\cup\left[\operatorname{arctg}3,\frac\pi2\right\rangle.$$