6. Zadatak

Vrh $A$ je presjek pravaca $AB$ i $AC$, $A=\left(\frac43,-1\right)$.

Vrh $B$ je presjek pravaca $AB$ i $s_\beta$, $B=\left(-\frac12,\frac92\right)$.

Koeficijente smjera pravaca $AB$, $s_\beta$, $BC$ označimo sa $k_{AB}$, $k_{s_\beta}$, $k_{BC}$. Zbog svojstva simetrale kuta vrijedi da su kutovi $\angle(BA,s_\beta)$ i $\angle(s_\beta,BC)$ jednaki, a tada su i njihovi tangensi jednaki te vrijedi:

$$\begin{gathered} \left|\frac{k_{AB}-k_{s_\beta}}{1+k_{AB}\cdot k_{s_\beta}}\right|=\left|\frac{k_{s_\beta}-k_{BC}}{1+k_{BC}\cdot k_{s_\beta}}\right|.\quad(\dagger)\\ \left|\frac{-3-1}{1+(-3)\cdot1}\right|=\left|\frac{1-k_{BC}}{1+1\cdot k_{BC}}\right|. \end{gathered}$$

Ova jednadžba ima dva rješenja:

$$k_{BC}=-\frac13,\quad k_{BC}=-3,$$

ali samo je $k_{BC}=-\frac13$ dobro rješenje jer u drugom slučaju pravci na kojima leže dvije stranice trokuta imaju isti koeficijent smjera, što je nemoguće.

Napomena:

Pravilnim poretkom koeficijenata smjera može se izostaviti apsolutna vrijednost u $(\dagger)$ pa se odmah dobije samo jedno, valjano rješenje.

Jednadžba pravca $BC$ točkom $B$ uz poznati koeficijent smjera $k_{BC}=-\frac13$ je $BC:y-\frac92=-\frac13\left(x+\frac12\right)$, odnosno $BC:x+3y-13=0$.

I, konačno, vrh $C$ je presjek pravaca $BC$ i $AC$, $C=\left(-\frac{52}5,\frac{39}5\right)$.