8. Zadatak

Prvo rješenje.

Zadatak napišimo u obliku

$$\sin1\cdot\sin1+\sin1\cdot\sin3+\sin1\cdot\sin5+\ldots+\sin1\cdot\sin(2n-1)=\sin^2n.$$

Koristeći identitet $\sin x\cdot\sin y=\frac12(\cos(x-y)-\cos(x+y))$ dobivamo:

$$\begin{aligned} &\sin1\cdot\sin1+\sin1\cdot\sin3+\sin1\cdot\sin5+\ldots+\sin1\cdot\sin(2n-1)=\\ &=\frac12(\cos0-\cos2+\cos2-\cos4+\cos4-\cos6+\ldots+\cos(2n-2)-\cos(2n))=\\ &=\frac12(1-\cos(2n))=\sin^2n. \end{aligned}$$

Drugo rješenje.

Matematičkom indukcijom.

Provjerimo tvrdnju za $n=1$: $\sin1=\sin1$ (baza indukcije)

Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki prirodni broj $n$:

$$\sin1+\sin3+\sin5+\ldots+\sin(2n-1)=\frac{\sin^2n}{\sin1},\quad\text{(pretpostavka indukcije)}$$

Dokažimo da tada tvrdnja vrijedi i za $n+1$:

$$\sin1+\sin3+\sin5+\ldots+\sin(2n-1)+\sin(2n+1)=\frac{\sin^2(n+1)}{\sin1}.$$

Krenimo od lijeve strane i iskoristimo pretpostavku

$$\sin1+\sin3+\sin5+\ldots+\sin(2n-1)+\sin(2n+1)=\frac{\sin^2n}{\sin1}+\sin(2n+1)=\frac{\sin^2n+\sin1\sin(2n+1)}{\sin1}$$

i dalje korištenjem trigonometrijskih identiteta dobivamo

$$=\frac{\frac{1-\cos2n}2+\frac12[\cos2n-\cos2(n+1)]}{\sin1}=\frac{\frac12-\frac12\cos2(n+1)}{\sin1}=\frac{\sin^2(n+1)}{\sin1}.$$

Dakle, tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$.