1. Zadatak

Prvo rješenje.

$$\sin x-\cos x+\frac{\sin x}{\cos x}=1,\quad\cos x\ne0.$$

Jednadžbu pomnožimo sa $\cos x$ i dobivamo

$$\sin x\cdot\cos x-\cos^2x+\sin x=\cos x.$$

Grupiranjem članova slijedi

$$\begin{gathered} (\cos x+1)\cdot(\sin x-\cos x)=0.\\ \cos x=-1\quad\text{ili}\quad\operatorname{tg}x=1. \end{gathered}$$

Tada je $x_1=\pi+2k\pi$, $x_2=\frac\pi4+k\pi$.

Drugo rješenje. (Univerzalnom supstitucijom)

$$\begin{gathered} \operatorname{tg}\frac x2=t,\quad\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad\operatorname{tg}x=\frac{2t}{1-t^2},\quad t\ne\pm1.\\ \frac{2t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1-t^2}=1.\\ t^2+2t-1=0\\ t_{1,2}=-1\pm\sqrt2,\quad x=2\operatorname{arctg}(-1\pm\sqrt2)+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z. \end{gathered}$$

Još treba provjeriti uvjet $\operatorname{tg}\frac x2\ne\pm1$ i kada $\operatorname{tg}\frac x2$ nije definirano.

Prvi je uvjet zadovoljen jer je $\operatorname{tg}\frac x2=\pm1$ za $x=\pm\frac\pi2+2k\pi$, što nije rješenje.

$\operatorname{tg}\frac x2$ nije definiran za $\frac x2=\frac\pi2+k\pi$, odnosno $x=\pi+2k\pi$, a to je rješenje.