5. Zadatak

U crvenu kutiju stane 20, a u zelenu 18 kuglica. Ako su $x$ i $y$ redom brojevi crvenih i zelenih kutija, tada

$$20x+18y=2018,$$

odnosno

$$10x+9y=1009, \qquad x,y\in\mathbb N_0.$$

Prvi način.

Jedno je rješenje $(x,y)=(100,1)$. Zato vrijedi

$$10(x-100)+9(y-1)=0.$$

Odavde je

$$x=100-9k,\qquad y=10k+1,$$

gdje je $k\in\mathbb N_0$. Uvjet $x\ge0$ daje $k\in\{0,1,\ldots,11\}$, pa ima 12 rješenja.

Drugi način.

Iz $10x=1009-9y$ slijedi $y\le112$, a zadnja znamenka broja $y$ mora biti 1. Kandidati su

$$y=1,11,21,\ldots,111.$$

Dobiveni parovi $(x,y)$ su

$$(100,1),(91,11),(82,21),(73,31),(64,41),(55,51),$$ $$(46,61),(37,71),(28,81),(19,91),(10,101),(1,111).$$

Dakle, postoji 12 različitih načina.