6. Zadatak

Za $x\in\langle0,2\pi\rangle\setminus\left\{\frac{3\pi}{2}\right\}$ vrijedi $\sin x+1>0$, pa iz prve nejednadžbe slijedi $\tg x-1<0$. Zato je

$$x\in\left\langle0,\frac\pi4\right\rangle \cup\left\langle\frac\pi2,\frac{5\pi}4\right\rangle \cup\left\langle\frac{3\pi}2,2\pi\right\rangle.$$

Uvedimo $t=\sin x$. Druga nejednadžba svodi se na

$$4t^2-2(\sqrt3+1)t+\sqrt3>0.$$

Njezine su nultočke $\frac12$ i $\frac{\sqrt3}{2}$, pa je

$$t<\frac12\quad\text{ili}\quad t>\frac{\sqrt3}{2}.$$

Iz $\sin x<\frac12$ slijedi

$$x\in\left\langle0,\frac\pi6\right\rangle \cup\left\langle\frac{5\pi}6,2\pi\right\rangle,$$

a iz $\sin x>\frac{\sqrt3}{2}$ slijedi

$$x\in\left\langle\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right\rangle.$$

Dakle, rješenje druge nejednadžbe je

$$x\in\left\langle0,\frac\pi6\right\rangle \cup\left\langle\frac\pi3,\frac{2\pi}3\right\rangle \cup\left\langle\frac{5\pi}6,2\pi\right\rangle.$$

Presjekom rješenja dviju nejednadžbi dobivamo

$$\boxed{ x\in\left\langle0,\frac\pi6\right\rangle \cup\left\langle\frac\pi2,\frac{2\pi}3\right\rangle \cup\left\langle\frac{5\pi}6,\frac{5\pi}4\right\rangle \cup\left\langle\frac{3\pi}2,2\pi\right\rangle }.$$