7. Zadatak

Kocku $ABCDA_1B_1C_1D_1$ brida $a$ presiječemo ravninom koja prolazi točkama $E\in\overline{AB}$ , $F\in\overline{BC}$ i $G\in\overline{B_1C_1}$ takvima da je

|AE|=\frac14|AB|,\qquad |BF|=\frac23|BC|,\qquad |B_1G|=\frac13|B_1C_1|.

Obujam manjega od dvaju tako nastalih geometrijskih tijela je $\frac76$ . Odredite obujam početne kocke.

Rješenje

Prvo rješenje.

Presjek kocke u prvom rješenju

Uočimo da je dobiveno manje geometrijsko tijelo krnja piramida visine $a$ . Njezina je donja baza pravokutan trokut s katetama $|EB|=\frac34a$ i $|BF|=\frac23a$ , a gornja baza pravokutan trokut s katetama $|B_1G|=\frac13a$ i $|HB_1|$ .

Označimo $x=|HB_1|$ . Promotrimo tlocrt kocke:

Tlocrt presjeka kocke

Iz sličnosti trokuta slijedi

x:\frac34=\frac13:\frac23,

odakle dobivamo

x=\frac38a.

Analogno, zbog sličnosti je visina cijele piramide jednaka $2a$ .

Presjek piramide u prvom rješenju

Površina baze cijele piramide iznosi

B=\frac12\cdot\frac34a\cdot\frac23a=\frac14a^2,

pa je njezin obujam

V_1=\frac13\cdot\frac14a^2\cdot2a=\frac16a^3.

Obujam manje piramide koja je odrezana iznosi

V_2=\frac13\cdot\frac12\cdot\frac38a\cdot\frac13a\cdot a =\frac1{48}a^3.

Obujam krnje piramide je zato

V=V_1-V_2=\frac16a^3-\frac1{48}a^3=\frac7{48}a^3.

Prema zadanom uvjetu,

\frac7{48}a^3=\frac76,

pa je $a^3=8$ . Slijedi da je obujam početne kocke jednak $8$ .

Drugo rješenje.

Krnja piramida u drugom rješenju

Uočimo da je manji dio krnja piramida. Njezine su duljine $|EB|=\frac34a$ , $|BF|=\frac23a$ i $|B_1G|=\frac13a$ .

Cijela i manja piramida slične su s koeficijentom sličnosti $k=2$ , jer je

|BF|:|B_1G|=\frac23:\frac13=2:1.

Cijela piramida ima visinu $2a$ , a manja piramida visinu $a$ . Njezin obujam je

V_1=\frac13\cdot\frac12\cdot\frac34a\cdot\frac23a\cdot2a=\frac16a^3.

Zbog sličnosti vrijedi $V_1:V_2=k^3=8$ , pa je

V_2=\frac18V_1=\frac1{48}a^3.

Obujam krnje piramide je

V=V_1-V_2=\frac78V_1=\frac7{48}a^3.

Iz zadanog uvjeta slijedi $\frac7{48}a^3=\frac76$ , pa je $a^3=8$ . Obujam kocke je $8$ .

Treće rješenje.

Presjekom je nastala krnja piramida. Veća baza je pravokutan trokut površine

B=\frac12\cdot\frac34a\cdot\frac23a=\frac14a^2.

Vrijedi

|BF|:|B_1G|=|VB|:|VB_1|=|EB|:|HB_1| =\frac23:\frac13=2:1,

pa je površina manje baze $b=\frac14B=\frac1{16}a^2$ .

Koristimo formulu za obujam krnje piramide:

\frac76 =\frac13a\left(\frac14a^2+\frac1{16}a^2+ \sqrt{\frac{a^2}{4}\cdot\frac{a^2}{16}}\right).

Sređivanjem dobivamo

\frac76=\frac{a^3}{3}\left(\frac14+\frac1{16}+\frac18\right) =\frac7{48}a^3,

pa je $a^3=8$ , odnosno $a=2$ . Obujam početne kocke je $V=a^3=8.