8. Zadatak

Traženi polumjer označimo s $r$, a polumjer opisane kružnice trokutu $ABC$ s $R$.

Polumjer $r$ ćemo izračunati iz pravokutnog trokuta $DAS$. Vrijedi

$$|AS|=2R-r,\qquad \sin\frac\alpha2=\frac r{2R-r}.\tag{*}$$

Polumjer $R$ ćemo izračunati iz pravokutnog trokuta $FOB$. Kako je $\alpha$ obodni kut nad tetivom $\overline{BC}$, kut $FOB$ je također $\alpha$ (pola središnjeg kuta nad $\overline{BC}$).

Tada je

$$\sin\alpha=\frac a{2R}\quad\text{ili}\quad 2R=\frac a{\sin\alpha}.$$

Tada je iz (*)

$$\sin\frac\alpha2=\frac r{\frac a{\sin\alpha}-r},$$

odnosno

$$\sin\frac\alpha2\left(\frac a{\sin\alpha}-r\right)=r$$ $$r+r\sin\frac\alpha2=\frac{a\sin\frac\alpha2}{\sin\alpha}$$ $$r=\frac{a\sin\frac\alpha2}{\sin\alpha\left(1+\sin\frac\alpha2\right)}.$$

Napomena. Polumjer $R$ se može izračunati i iz pravokutnog trokuta $ABE$ (kut $ABE$ je obodni nad promjerom) ili iz formule za površinu ($P=\frac{abc}{4R}$).