6. Zadatak

Prvo rješenje

Kako je $P=\frac{a+c}{2}\cdot h$ i $P=h^2$, to je $a+c=2h$.

Produžimo $\overline{AB}$ preko točke $B$ do točke $E$ tako da je $|BE|=|DC|=c$. Tada je $BECD$ paralelogram pa je $|CE|=|DB|$.

S druge strane, trapez je jednakokračan pa je $|AC|=|DB|$. Dakle, $|CE|=|AC|$. To znači da je trokut $\triangle AEC$ jednakokračan osnovice $\overline{AE}$.

Tada visina $\overline{CF}$ povučena na osnovicu leži na simetrali osnovice.

Dakle, točka $F$ je polovište dužine $\overline{AE}$. Stoga je

$$|AF|=\frac12|AE|=\frac12(a+c)=h.$$

To znači da je trokut $\triangle AFC$ pravokutan i jednakokračan.

Slijedi da je

$$\angle CAF=\angle FCA=45^\circ.$$

Kut između dijagonala je tada:

$$\angle ACE=2\angle FCA=90^\circ.$$

Drugo rješenje

Iz $\frac{a+c}{2}\cdot h=h^2$ slijedi $a+c=2h$.

Iz sličnosti trokuta $ABS$ i trokuta $CDS$ (isti kutovi jer su osnovice paralelne), gdje je $S$ sjecište dijagonala, slijedi

$$\frac{x}{h-x}=\frac{c}{a}$$ $$xa=hc-cx$$ $$x(a+c)=hc,$$

a kako je $a+c=2h$, slijedi

$$x\cdot2h=hc$$ $$x=\frac c2$$

a odatle zaključujemo da je

$$\frac\alpha2=45^\circ,\quad\alpha=90^\circ.$$