3. Zadatak

Prvo rješenje.

Smjestimo romb u koordinatni sustav tako da su mu vrhovi na koordinatnim osima, a sjecište dijagonala u ishodištu. Vrhovi romba su točke $A(0,-c)$, $B(b,0)$, $C(0,c)$, $D(-b,0)$, a proizvoljna točka kružnice je $T(x,y)$. Tada je

$$d^2(A,T)+d^2(B,T)+d^2(C,T)+d^2(D,T)$$ $$= (x-0)^2+(y+c)^2+(x-b)^2+(y-0)^2+(x-0)^2+(y-c)^2+(x+b)^2+(y-0)^2$$ $$=4x^2+4y^2+2c^2+2b^2$$ $$=4r^2+2(c^2+b^2).$$

Kako su $c$ i $b$ polovine dijagonala romba, po Pitagorinom poučku je $c^2+b^2=a^2$.

Polumjer upisane kružnice je polovica visine romba, $r=\frac12v_a=\frac12a\sin\alpha$, ili računamo iz površine

$$2ar=a^2\sin\alpha,\qquad r=\frac12a\sin\alpha.$$

Konačno, zbroj kvadrata udaljenosti jednak je $a^2\sin^2\alpha+2a^2$, što je konstantna veličina.

Drugo rješenje.

Po poučku o kosinusu, iz trokuta $AST$ je

$$d^2(A,T)=r^2+\left(\frac e2\right)^2-2r\frac e2\cos\varphi,$$

a iz trokuta $TSC$

$$d^2(T,C)=r^2+\left(\frac e2\right)^2-2r\frac e2\cos(180^\circ-\varphi).$$

Zbrojimo li ove dvije jednakosti, slijedi

$$\begin{aligned} d^2(A,T)+d^2(T,C) &=r^2+\left(\frac e2\right)^2-2r\frac e2\cos\varphi+r^2+\left(\frac e2\right)^2-2r\frac e2\cos(180^\circ-\varphi)\\ &=2r^2+2\left(\frac e2\right)^2. \end{aligned}$$

Analogno je

$$d^2(B,T)+d^2(T,D)=2r^2+2\left(\frac f2\right)^2,$$

gdje je $f$ druga dijagonala romba.

Zato je

$$d^2(A,T)+d^2(T,C)+d^2(B,T)+d^2(T,D)=4r^2+2\left(\left(\frac e2\right)^2+\left(\frac f2\right)^2\right)=a^2\sin^2\alpha+2a^2.$$