2. Zadatak

Prvo rješenje.

Faktorizirajmo danu jednadžbu: $$\begin{aligned} \sin x-\cos x+\sin x\cos x-1&=0,\\ (\sin x+\sin x\cos x)-(1+\cos x)&=0,\\ (\sin x-1)(1+\cos x)&=0. \end{aligned}$$ Odavde je $\sin x=1$, tj. $x=\frac\pi2+2k\pi$ za $k\in\mathbb Z$

ili $\cos x=-1$, tj. $x=\pi+2k\pi$ za $k\in\mathbb Z$.

Skup svih rješenja dane jednadžbe je $$\left\{\frac\pi2+2k\pi:k\in\mathbb Z\right\}\cup\{\pi+2k\pi:k\in\mathbb Z\}.$$

Drugo rješenje.

Uvedimo supstituciju $t=\sin x-\cos x$.

Tada je $t^2=\sin^2x+\cos^2x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x$, odakle je $\sin x\cos x=\frac{1-t^2}2$.

Sada jednadžba prelazi u $$t+\frac{1-t^2}2=1\quad\text{tj.}\quad t^2-2t+1=0.$$ Kako je $(t-1)^2=0$, dobivamo $t=1$.

Jednadžba se svodi na $\sin x-\cos x=1$, tj. $$\begin{aligned} \frac{\sqrt2}2\sin x-\frac{\sqrt2}2\cos x&=\frac{\sqrt2}2\\ \sin\left(x-\frac\pi4\right)&=\frac{\sqrt2}2\\ x-\frac\pi4=\frac\pi4+2k\pi,&\quad x-\frac\pi4=\frac{3\pi}4+2k\pi \end{aligned}$$ a odavde je $x=\frac\pi2+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$

ili $x=\pi+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.

Dakle skup rješenja je $$\left\{\frac\pi2+2k\pi:k\in\mathbb Z\right\}\cup\{\pi+2k\pi:k\in\mathbb Z\}.$$

Treće rješenje.

Iz dane jednadžbe dobivamo $(\sin x-\cos x)^2=(1-\sin x\cos x)^2$ (1)

Redom imamo: $$\begin{aligned} \sin^2x-2\sin x\cos x+\cos^2x&=1-2\sin x\cos x+\sin^2x\cos^2x\\ 1-2\sin x\cos x&=1-2\sin x\cos x+\sin^2x\cos^2x\\ \sin x\cos x&=0\qquad(2) \end{aligned}$$ Jednadžba (1), odnosno (2) ekvivalentna je polaznoj jednadžbi uz uvjet $\sin x-\cos x\ge0$.

Iz (2), odnosno $\sin(2x)=0$ dobivamo $x=\frac{k\pi}2$, $k\in\mathbb Z$.

Uvjet $\sin x-\cos x\ge0$ zadovoljavaju $x\in\left\{\frac\pi2+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\right\}\cup\{\pi+2k\pi,\ k\in\mathbb Z\}$.